işlem

[GaNGsTer]

Tanım kümesi AXA ve değer kümesi A olan fonksiyona ikili işlem denir.
f :AXA®A
Tanım kümesi A ve değer kümesi A olan fonksiyona birli işlem denir.
f : A®A
Örnek 1
A=N (Doğal sayılar kümesi), f fonksiyonu da toplama işlemi olsun.


Bu durumda;
+ : (4,5)®N
işlemi;
4 + 5 = 9ÎN
dir. O halde, toplama işlemi doğal sayılar kümesinde tanımlıdır.
Örnek 2
A=N (Doğal sayılar kümesi), f fonksiyonu da çarpma işlemi olsun.


Bu durumda;
x : (3,7)®N
işlemi;
3 x 7 = 21ÎN
dir. O halde, çarpma işlemi doğal sayılar kümesinde tanımlıdır.
Her işlemin kuralı farklıdır.
O halde, bir kümenin aynı veya farklı iki elemanı işleme tabii tutulduğunda, yine o kümenin bir elemanı elde edilmektedir. Bir kümenin işleme sokulmak üzere alınan eleman çiftine ikili denir.
Doğal sayılar kümesinden herhangi iki eleman alınsın. Bunlar 5 ve 1 olsun. Bu iki elemandan, (5,1) ikilisini oluşturulsun. Bu ikilinin terimleri arasında, bilinen dört işlem uygulanabilir.
5 + 1 = 6
5 - 1 = 4
5 x 1 = 5
5 : 1 = 5
İki eleman arasında uygulanan işlemlerle yeni elemanlar elde edildi.
İşlemler, *,+, -, +, :, x gibi sembollerle gösterilir.
A = {1,2,3,4} olsun * işlemi A kümesinde aşağıdaki tabloda görülen şekilde tanımlanmıştır.
* 1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 3 4 1
3 3 4 1 2
4 4 1 2 3


Tablodan da görüldüğü gibi ikili işlem, bir kümenin iki elemanını bir elemana götüren kuraldır.
A kümesi herhangi bir küme ve * işlemi A kümesinde tanımlı olsun. * işleminin özellikleri şunlardır:
Herbir a, bÎA için a*bÎA oluyorsa, A kümesi * işlemine göre kapalıdır.
Her bir a, bÎA için a*b=b*a oluyorsa, A kümesinde * işleminin değişme özeliği vardır.
Her bir a,bÎA için (a*b)*c=a*(b*c) oluyorsa, A kümesinde * işleminin birleşme özeliği vardır.
Her aÎA için, a*e=e*a=a eşitliğini sağlayan bir eÎA varsa, e elemanına * işleminin birim elemanı denir.
Her aÎA için a*b = b*a = e olacak biçimde bir bÎA varsa, b elemanına * işlemine göre a elemanının ters elemanı denir.